Ordinales (I)

Abstract. This is the first post of a series concerning ordinals. I start by motivating their need by means of Cantor-Bendixson derivative, and then develop some of the basic concepts (induction, recursion, arithmetic).


Comenzaré discutiendo una operación sobre los subconjuntos de un espacio topológico. Es en algún sentido dual a la clausura, porque en vez de agrandar, achica.

Una Derivada Topológica.   

Definición 1 Sea {X} espacio topológico. La derivada de Cantor-Bendixson de {X} es {X'\mathrel{\mathop:}= \{x\in X : x \text{ no es aislado}\}}.

De hecho, aplicar la clausura a un conjunto le agrega todos los puntos de acumulación, y aplicarla a un conjunto cerrado no hace nada. En cambio, la derivada de Cantor-Bendixson sólo deja los puntos de acumulación y se puede aplicar varias veces y obtener cosas distintas cada vez. Para no escribir cosas como {X'''''''}, definimos:

\displaystyle X^{(0)}\mathrel{\mathop:}= X; \qquad X^{(n+1)}\mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{(n)}\bigr)'.

Notemos que esta derivada es decreciente, {X^{(n)}\supseteq X^{(n+1)}} y que cualquiera sea {X}, {X'} es cerrado.

Ejercicio 1 Probar lo anterior, y encontrar {X\subseteq {\mathbb R}} tal que {X'} y {X''} sean distintos. (¿Y que {X''\neq X^{(3)}}? ¿Etcétera?)

En general, para cada {n}, hay subconjuntos {X} de los reales tales que todos los {X^{(j)}} son distintos con {j<n}. Más aún, hay un {X} tal que {X^{(n)}} es una sucesión infinita estrictamente decreciente.

Tomando {\ensuremath{\omega}} como símbolo greco-judeo-cristiano de infinito, podríamos definir

\displaystyle X^{(\ensuremath{\omega})} \mathrel{\mathop:}= \bigcap_{n\in{\mathbb N}} X^{(n)}.

¿Se puede seguir aplicando {(\cdot)'}? ¿Obtenemos algo nuevo? Sí: existe un subconjunto cerrado {\Omega} de {{\mathbb R}} tal que {\Omega^{(\ensuremath{\omega})}\neq\Omega^{(n)}} para todo {n\in{\mathbb N}} y {\bigl(\Omega^{(\ensuremath{\omega})}\bigr)'\neq\Omega^{(\ensuremath{\omega})}}. Definimos entonces

\displaystyle X^{(\ensuremath{\omega}+1)} \mathrel{\mathop:}= \bigl(X^{(\ensuremath{\omega})}\bigr)'.

G.~Cantor vio que en un espacio topológico general, este proceso podría aplicarse indefinidamente, e indizó este proceso con los ordinales.

Los ordinales son las “formas posibles” (tipos de isomorfismo) de cierta clase de conjuntos (totalmente) ordenados, los buenos órdenes.

Buenos órdenes.   

Definición 2 Un conjunto bien ordenado {\langle X,\preceq\rangle } es un conjunto {X} con una relación de orden (total) {\preceq} tal que todo {Y\subseteq X} no vacío tiene elemento mínimo según {\preceq}:

\displaystyle \forall Y\subseteq X : \exists y\in Y . \forall z\in Y \; (y\preceq z).

En este caso decimos que {\preceq} es un buen orden (sobre {X}).

El ejemplo paradigmático de conjunto bien ordenado es {\langle {\mathbb N},\leq\rangle }. Otros ejemplos son los siguientes (Fraenkel, [Fra61]): {\langle \mathbb{Z},\preceq\rangle }, donde {\preceq} coincide con la relación {\leq} para pares de números no negativos, se invierte para pares de números negativos, y estipula que todos los números negativos son mayores que todos los positivos:

\displaystyle  0, 1, 2, 3, \dots, -1, -2, -3,\dots, \ \ \ \ \ (1)

El siguiente es un buen orden sobre {\mathbb{Q}^+}:

\displaystyle  1, 2, 3, \dots, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \dots, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3},\dots,\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \dots \ \ \ \ \ (2)

También, de manera trivial, todo conjunto finito totalmente ordenado es un buen orden (incluimos en este caso al conjunto vacío). En nuestra definición estamos suponiendo que el orden {\preceq} corresponde a una relación de “menor o igual”. Para referirnos al orden estricto usaremos a veces {\prec} y en general también diremos que {\langle X,\prec\rangle } es un buen orden (como es usual, {x\prec y} si y sólo si {x\preceq y} y {x\neq y}).

Se sigue de la definición que si {\langle X,\preceq\rangle } es un buen orden entonces para todo {Y\subseteq X}, {\langle Y,{\preceq}\cap (Y\times Y)\rangle } está bien ordenado. Se obtiene fácilmente:

Proposición 3 {\langle X,\preceq\rangle } está bien ordenado si y sólo si no existen sucesiones estrictamente {\preceq}-decrecientes infinitas.

Cuidado: la prueba, aunque “obvia”, necesita del axioma de elección.

Finalmente, para decir que dos órdenes tienen la misma forma, necesitamos la siguiente

Definición 4 Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados {\langle X,\preceq\rangle } y {\langle Y,\trianglelefteq\rangle } es una función biyectiva {f:X\rightarrow Y} tal que {a\preceq b \iff f(a)\trianglelefteq f(b)}. Decimos que {\langle X,\preceq\rangle } y {\langle Y,\trianglelefteq\rangle } son isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos.

Ejercicio 2 Sea {\trianglelefteq} el siguiente orden en {{\mathbb N}\times\{0,1\}}:

{(a,b)\trianglelefteq (c,d)\iff b<d}, o bien si {b = d} y {a\leq b}

Convencerse de que {\langle {\mathbb N}\times\{0,1\},\trianglelefteq\rangle } es isomorfo al orden de arriba sobre {\mathbb{Z}}.

Ejercicio 3 Encontrar 4 buenos órdenes no isomorfos a los anteriores (y no isomorfos entre sí).

…Continuará

Bibliografía

[Fra61] Abraham A. Fraenkel. Abstract Set Theory. Studies in Logic and Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam, second edition, 1961.

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